Математический анализ Примеры

$\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x = x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} + C$

Этап 1

Поскольку $u$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $u$ из-под знака интеграла.

$u \int (2 x^{3} + 2 x) (x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u \int 2 x^{3} x + 2 x \cdot x d x$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$u \int 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot x d x$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u \int 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot x d x$

Этап 2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 x \cdot x d x$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) d x$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) d x$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u \int 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} d x$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$u \int 2 x^{4} + 2 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$u (\int 2 x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$u (2 \int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 2 x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 \int x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$u (2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$u (\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3}) + C$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$u (\frac{2}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}) + C$