Математический анализ Примеры

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.5.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.5.1.4

Перенесем $- 1$ влево от $π$ .

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $π^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Этап 1.3.3

Вычтем $π^{2}$ из $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + π \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π \sec (x)$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.4.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.4.3

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - π^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Этап 3.8

Поскольку $- π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- π^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

Этап 3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 7

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $π$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $π$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Этап 13.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Этап 13.1.4

Перенесем $- 1$ влево от $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Этап 13.1.5

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Этап 13.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

Этап 13.1.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

Этап 13.1.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

Этап 13.1.9

Умножим $- π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

Этап 13.1.9.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

Этап 13.1.10

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 13.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2 π}$