Математический анализ Примеры

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3 t^{2}$ из $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3 t^{2}$ из $3 x t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $3 t^{2}$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3 t^{2}$ из $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Этап 2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $t^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Этап 2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2.1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

Этап 3.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Этап 3.3.2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Этап 3.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.3

Умножим $t^{3}$ на $1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ .

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

Этап 4.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{t^{3} + C}$ в виде $e^{t^{3}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{t^{3}}$ и $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = C e^{t^{3}} + 1$