Математический анализ Примеры

$\cos^{5} (x)$

Этап 1

Запишем $\cos^{5} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

Этап 4

Вынесем $\cos^{4} (x)$ за скобки.

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Этап 5.2

Перепишем ${\cos (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Этап 7

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 8

Развернем ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем ${(1 - u^{2})}^{2}$ в виде $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 8.5

Перенесем $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 8.6

Перенесем $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.11

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 8.13

Добавим $2$ и $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 8.14

Вычтем $u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Этап 8.15

Изменим порядок $- 2 u^{2}$ и $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Этап 8.16

Перенесем $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Этап 11

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Этап 14.2

Упростим.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$