Математический анализ Примеры

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Этап 1

Вычтем $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ из обеих частей уравнения.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

Этап 2.4.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

Этап 2.4.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

Этап 3

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $a$ , производная $a^{3} y$ по $a$ равна $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.2.3

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 2 x^{2}$ является константой относительно $a$ , производная $- 2 x^{2} a^{2}$ по $a$ равна $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Этап 3.1.4

Поскольку $x^{4}$ является константой относительно $a$ , производная $x^{4}$ относительно $a$ равна $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Добавим $3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ и $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

Этап 3.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Этап 3.2

Первая производная $f (a)$ по $a$ равна $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Этап 4

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $a$ из $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $a$ из $3 a^{2} y$ .

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $a$ из $- 4 x^{2} a$ .

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $a$ из $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ .

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.4

Приравняем $a$ к $0$ .

$a = 0$

Этап 4.5

Приравняем $3 a y - 4 x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $3 a y - 4 x^{2}$ к $0$ .

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Решим $3 a y - 4 x^{2} = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $4 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 a y = 4 x^{2}$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $3 a y = 4 x^{2}$ на $3 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 a y = 4 x^{2}$ на $3 y$ .

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Этап 4.5.2.2.2.2.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ верно.

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Этап 5

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 6

Вычислим $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ для каждого значения $a$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение в $a = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Подставим $0$ вместо $a$ .

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Этап 6.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $0$ на $y$ .

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Этап 6.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $- 2 x^{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.4.1

Умножим $0$ на $- 2$ .

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

Этап 6.1.2.1.4.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$0 + 0 + x^{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + x^{4}$

Этап 6.1.2.2.2

Добавим $0$ и $x^{4}$ .

$x^{4}$

Этап 6.2

Найдем значение в $a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Подставим $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ вместо $a$ .

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $4 x^{2}$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Применим правило умножения к $3 y$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $27 y^{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.5.2

Применим правило умножения к $4 x^{2}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.5.3

Применим правило умножения к $3 y$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.6.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.8

Умножим $- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.8.1

Объединим $- 2$ и $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.8.2

Умножим $16$ на $- 2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.8.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.8.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.8.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.8.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.8.4.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.9

Перенесем $- 32$ влево от $x^{6}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

Этап 6.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27 y^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.1

Вынесем множитель $32 x^{6}$ из $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.1.1

Вынесем множитель $32 x^{6}$ из $64 x^{6}$ .

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5.1.1.2

Вынесем множитель $32 x^{6}$ из $- 32 x^{6} \cdot 3$ .

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5.1.1.3

Вынесем множитель $32 x^{6}$ из $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5.1.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5.1.4

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.2.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Этап 6.3

Перечислим все точки.

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

Этап 7