Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 4} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.13

Умножим $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.14

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Этап 1.5

Перепишем ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$ на $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 2.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 2.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 \cdot 0 + 1)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} (0 + 1)}$

Этап 4.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4} \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}} \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$