Математический анализ Примеры

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Этап 2.1.1.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Этап 2.1.1.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (1) + 4 x (x)$ .

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Этап 2.1.1.2

Сократим выражение $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Этап 2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Этап 2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Этап 2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Этап 2.1.6.2

Разделим $(A) \cdot (4)$ на $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Этап 2.1.7

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$1 = 4 A$

Этап 2.2

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$