Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{x} \sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \sqrt{x} \sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int {\sqrt{x}}^{2} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\int x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\int x^{1} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 2.5.5

Упростим.

$\int x + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Этап 8.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x^{- 1} + C$