Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$

Этап 1

Вынесем степень $4$ в выражении ${(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.1.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{- 3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

${(\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 6.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 6.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 7

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}})}^{4}$

Этап 9

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

${(\frac{3 + 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Этап 10.1.2

Добавим $3 + 0$ и $0$ .

${(\frac{3 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Этап 10.1.3

Добавим $3$ и $0$ .

${(\frac{3}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0 + 0})}^{4}$

Этап 10.2.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0})}^{4}$

Этап 10.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

${(\frac{3}{1})}^{4}$

Этап 10.3

Разделим $3$ на $1$ .

$3^{4}$

Этап 10.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81$