Математический анализ Примеры

$x \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $x \sqrt{1 - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 4.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 5.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$