Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Этап 4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Этап 4.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Этап 4.3

Объединим $d$ и $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Этап 4.4

Объединим $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ и $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 4.5

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Этап 4.6

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Этап 4.6.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Этап 4.6.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Этап 4.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Этап 4.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Этап 4.6.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Перенесем $2$ влево от $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$