Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- \frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{5} x^{6}$ по $x$ равна $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.5

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.6

Объединим $\frac{- 12}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- \frac{12}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{12 x^{5}}{5}$ по $x$ равна $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $- 5$ на $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.6

Объединим $\frac{- 60}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.7

Сократим общий множитель $- 60$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.7.2.4

Разделим $- 12 x^{4}$ на $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 u$ из $- 12 u^{2} + 60 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $12 u$ из $- 12 u^{2}$ .

$12 u (- u) + 60 u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $12 u$ из $60 u$ .

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $12 u$ из $12 u (- u) + 12 u (5)$ .

$12 u (- u + 5) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $- x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- x^{2} + 5$ к $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 5$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Этап 2.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $\sqrt{5}$ в $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{6}$ в виде $5^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $5^{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $25$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Этап 3.3.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Этап 3.3.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Этап 3.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.2.1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 3.3.2.1.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 3.3.2.1.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Этап 3.3.2.1.5.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $5$ на $5^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Умножим $5$ на $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Этап 3.3.2.1.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Этап 3.3.2.1.7

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 50$ и $125$ .

$f (\sqrt{5}) = 75$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $75$ .

$75$

Этап 3.4

Подставляя $\sqrt{5}$ в $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , найдем точку $(\sqrt{5}, 75)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{5}, 75)$

Этап 3.5

Подставим $- \sqrt{5}$ в $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{6}$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{6}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.3

Добавим $6$ и $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{6}$ в виде $5^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $5^{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.6

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.7

Умножим $- 2$ на $25$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.8

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

Этап 3.5.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

Этап 3.5.2.1.10

Умножим ${\sqrt{5}}^{4}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

Этап 3.5.2.1.11

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Этап 3.5.2.1.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Этап 3.5.2.1.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Этап 3.5.2.1.11.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.11.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.5.2.1.11.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.11.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 3.5.2.1.11.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 3.5.2.1.11.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Этап 3.5.2.1.11.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Этап 3.5.2.1.12

Умножим $5$ на $5^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.12.1

Умножим $5$ на $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.12.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Этап 3.5.2.1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Этап 3.5.2.1.12.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Этап 3.5.2.1.13

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 50$ и $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = 75$

Этап 3.5.2.3

Окончательный ответ: $75$ .

$75$

Этап 3.6

Подставляя $- \sqrt{5}$ в $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ , найдем точку $(- \sqrt{5}, 75)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{5}, 75)$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{5})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2.33606797$ в степень $4$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 12$ на $29.78118022$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 2.33606797$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Этап 5.2.1.4

Умножим $60$ на $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Этап 5.2.2

Добавим $- 357.37416272$ и $327.43281572$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Этап 5.3

При $- 2.33606797$ вторая производная имеет вид $- 29.94134699$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \sqrt{5})$ .

Убывание на $(- \infty, - \sqrt{5})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{5}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.11803398$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.11803398$ в степень $4$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 12$ на $1.5625$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 1.11803398$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Этап 6.2.1.4

Умножим $60$ на $1.25$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

Этап 6.2.2

Добавим $- 18.75$ и $75$ .

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $56.25$ .

$56.25$

Этап 6.3

При $- 1.11803398$ вторая производная имеет вид $56.25$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \sqrt{5}, 0)$ .

Возрастание в области $(- \sqrt{5}, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \sqrt{5})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.11803398$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.11803398$ в степень $4$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 12$ на $1.5625$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $1.11803398$ в степень $2$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Этап 7.2.1.4

Умножим $60$ на $1.25$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

Этап 7.2.2

Добавим $- 18.75$ и $75$ .

$f'' (1.11803398) = 56.25$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $56.25$ .

$56.25$

Этап 7.3

При $1.11803398$ вторая производная имеет вид $56.25$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \sqrt{5})$ .

Возрастание в области $(0, \sqrt{5})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\sqrt{5}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2.33606797$ в степень $4$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 12$ на $29.78118022$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2.33606797$ в степень $2$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Этап 8.2.1.4

Умножим $60$ на $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Этап 8.2.2

Добавим $- 357.37416272$ и $327.43281572$ .

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Этап 8.3

При $2.33606797$ вторая производная имеет вид $- 29.94134699$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\sqrt{5}, \infty)$ .

Убывание на $(\sqrt{5}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ .

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

Этап 10