Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 4.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Этап 4.2.6.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$