Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 4

Пусть $u = e^{x} + 1$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = e^{x} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} + 1$ .

$\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 1 |) + C$