Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6} x^{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $6$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{6}{6}$ и $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Этап 1.1.4.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{4}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $20 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) - 60 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $5 x^{2}$ из $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $4$ .

$- 2, 6$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 6$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5 {(0)}^{4}$

Этап 3.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $- 5$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $2$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $32$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 {(2)}^{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 \cdot 16$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $- 5$ на $16$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 80$

Этап 3.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Запишем $32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 80$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 80$

Этап 3.3.2.2.3

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 80$

Этап 3.3.2.2.4

Запишем $- 80$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1}$

Этап 3.3.2.2.5

Умножим $\frac{- 80}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.2.6

Умножим $\frac{- 80}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{32 + 32 \cdot 3 - 80 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $32$ на $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 80 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.4.2

Умножим $- 80$ на $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 240}{3}$

Этап 3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Добавим $32$ и $96$ .

$f (2) = \frac{128 - 240}{3}$

Этап 3.3.2.5.2

Вычтем $240$ из $128$ .

$f (2) = \frac{- 112}{3}$

Этап 3.3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2) = - \frac{112}{3}$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{112}{3}$ .

$- \frac{112}{3}$

Этап 3.4

Подставляя $2$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , найдем точку $(2, - \frac{112}{3})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, - \frac{112}{3})$

Этап 3.5

Подставим $- 6$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot 46656 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $46656$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 (7776)) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 6) = 7776 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.3

Возведем $- 6$ в степень $5$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 {(- 6)}^{4}$

Этап 3.5.2.1.4

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 \cdot 1296$

Этап 3.5.2.1.5

Умножим $- 5$ на $1296$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 6480$

Этап 3.5.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Вычтем $7776$ из $7776$ .

$f (- 6) = 0 - 6480$

Этап 3.5.2.2.2

Вычтем $6480$ из $0$ .

$f (- 6) = - 6480$

Этап 3.5.2.3

Окончательный ответ: $- 6480$ .

$- 6480$

Этап 3.6

Подставляя $- 6$ в $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ , найдем точку $(- 6, - 6480)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 6, - 6480)$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (2, - \frac{112}{3}), (- 6, - 6480)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 5 {(- 6.1)}^{4} + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 6.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 6.1) = 5 \cdot 1384.5841 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $5$ на $1384.5841$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 6.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 \cdot - 226.981 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $20$ на $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Возведем $- 6.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 \cdot 37.21$

Этап 5.2.1.6

Умножим $- 60$ на $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 2232.6$

Этап 5.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $4539.62$ из $6922.9205$ .

$f'' (- 6.1) = 2383.3005 - 2232.6$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $2232.6$ из $2383.3005$ .

$f'' (- 6.1) = 150.7005$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $150.7005$ .

$150.7005$

Этап 5.3

При $- 6.1$ вторая производная имеет вид $150.7005$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 6)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 6)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 6, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f'' (- 3) = 5 \cdot 81 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $5$ на $81$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 \cdot - 27 - 60 {(- 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $20$ на $- 27$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 {(- 3)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 \cdot 9$

Этап 6.2.1.6

Умножим $- 60$ на $9$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 540$

Этап 6.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $540$ из $405$ .

$f'' (- 3) = - 135 - 540$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $540$ из $- 135$ .

$f'' (- 3) = - 675$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 675$ .

$- 675$

Этап 6.3

При $- 3$ вторая производная имеет вид $- 675$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 6, 0)$ .

Убывание на $(- 6, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f'' (1) = 5 {(1)}^{4} + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = 5 \cdot 1 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = 5 + 20 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $20$ на $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 {(1)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 \cdot 1$

Этап 7.2.1.6

Умножим $- 60$ на $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $5$ и $20$ .

$f'' (1) = 25 - 60$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $60$ из $25$ .

$f'' (1) = - 35$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 35$ .

$- 35$

Этап 7.3

При $1$ вторая производная имеет вид $- 35$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = 5 {(2.1)}^{4} + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $2.1$ в степень $4$ .

$f'' (2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $5$ на $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2.1$ в степень $3$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 \cdot 9.261 - 60 {(2.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $20$ на $9.261$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 {(2.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $2.1$ в степень $2$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 \cdot 4.41$

Этап 8.2.1.6

Умножим $- 60$ на $4.41$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 264.6$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $97.2405$ и $185.22$ .

$f'' (2.1) = 282.4605 - 264.6$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $264.6$ из $282.4605$ .

$f'' (2.1) = 17.8605$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $17.8605$ .

$17.8605$

Этап 8.3

При $2.1$ вторая производная имеет вид $17.8605$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$ .

$(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$

Этап 10