Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \sqrt{2}} (2 x^{2} + 1) (7 x^{2} + 13)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{2}$ .

$(lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Этап 7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Этап 9

Найдем предел $13$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $\sqrt{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{2}$ для $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{2}$ для $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$(2 \cdot 2^{1} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.1.1.5

Найдем экспоненту.

$(2 \cdot 2 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.2

Добавим $4$ и $1$ .

$5 \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot (7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13)$

Этап 11.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13)$

Этап 11.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Этап 11.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Этап 11.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{1} + 13)$

Этап 11.3.1.5

Найдем экспоненту.

$5 \cdot (7 \cdot 2 + 13)$

Этап 11.3.2

Умножим $7$ на $2$ .

$5 \cdot (14 + 13)$

Этап 11.4

Добавим $14$ и $13$ .

$5 \cdot 27$

Этап 11.5

Умножим $5$ на $27$ .

$135$