Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{- x}$

Этап 1

Запишем $x^{2} e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Этап 5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Этап 7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Этап 10.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Этап 11

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 11.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Этап 14

Перепишем $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ в виде $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$