Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 1.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $0$ и в $1$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 1 |})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 1 |})$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- \ln (\frac{0}{1})$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $1$ .

$- \ln (0)$

Этап 7.4

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$- \ln (0)$

Этап 8

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные