Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} + a x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + a x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

Этап 1.1.2.3

Умножим $a$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + a = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

Этап 2.2

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - a$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = - a$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - a$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Этап 2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Этап 2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Этап 2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{3} + a x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ вместо $x$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило умножения к $- \frac{a}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{a}{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.6

Перепишем $- \frac{a^{3}}{27}$ в виде ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Вынесем полную степень $a^{2}$ из $a^{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.6.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $27$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.6.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.6.5

Добавим круглые скобки.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.1.8

Объединим $\frac{a}{3}$ и $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.1.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Объединим $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Этап 4.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Этап 4.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Перенесем $3$ влево от $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

Этап 4.1.2.4.2

Добавим $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ и $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ вместо $x$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.3

Перепишем ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.4

Применим правило умножения к $- \frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.6

Применим правило умножения к $\frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.8

Перепишем $- \frac{a^{3}}{27}$ в виде ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Вынесем полную степень $a^{2}$ из $a^{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.8.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $27$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.8.3

Перегруппируем дробь $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.8.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.8.5

Добавим круглые скобки.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.10

Объединим $\frac{a}{3}$ и $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 4.2.2.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Этап 5