Математический анализ Примеры

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) + 2 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) d x + \int 2 x d x$

Этап 2

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$\int \sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Этап 5

Умножим $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Этап 6.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Этап 6.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Этап 6.3

Перенесем $- 1$ влево от $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u + \int 2 x d x$

Этап 6.4

Перепишем $- 1 u^{4}$ в виде $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u + \int 2 x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int 2 x d x$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 \int x d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 1 x^{2} + C$

Этап 13.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + x^{2} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + x^{2} + C$