Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поменяем знак экспоненты $3^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(3^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $3^{- x}$ на $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Этап 4

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int 3^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $3^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Этап 7

Перепишем $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ в виде $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$