Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

Этап 3

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Этап 8

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 9

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 11

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 14.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 14.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$