Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) (2 x^{3} + 7 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 4$ и $g (x) = 2 x^{3} + 7 x$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7 x] + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} + 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{2} + 4) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \cdot 1) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.7

Умножим $7$ на $1$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x)$

Этап 2.11.2

Перенесем $2$ влево от $2 x^{3} + 7 x$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 \cdot (2 x^{3} + 7 x) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1