Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{- 2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{- 1}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{- 2} - 6 x^{- 3} + 1$

Этап 1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Этап 1.5.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Этап 1.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Этап 1.5.2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{3}} + 1$

Этап 1.5.2.5

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{3}} + 1$

Этап 1.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.10

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{6}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.8

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 x^{- 4} + 0$

Этап 2.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Этап 2.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Этап 2.5.3.2

Объединим $18$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}} + 0$

Этап 2.5.3.3

Добавим $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{3}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.3.2

$8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$8 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$8 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.2.8

Умножим $- 3$ на $8$ .

$- 24 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{18}{x^{4}}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.3.2

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 3.3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 3.3.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 3.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 3.3.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 5})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 4$ на $18$ .

$- 24 x^{- 4} - 72 x^{- 5}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 x^{- 5}$

Этап 3.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 3.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 3.4.3.3

Объединим $- 72$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{- 72}{x^{5}}$

Этап 3.4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{24}{x^{4}} - \frac{72}{x^{5}}$