Математический анализ Примеры

$\int {(x^{3} + 3)}^{3} x^{5} d x$

Этап 1

Развернем ${(x^{3} + 3)}^{3} x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Этап 1.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Этап 1.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Этап 1.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Этап 1.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3^{3}) x^{5} d x$

Этап 1.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3 \cdot 3^{2}) x^{5} d x$

Этап 1.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3 \cdot (3 \cdot 3)) x^{5} d x$

Этап 1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3)) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Этап 1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3) x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Этап 1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{5} + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Этап 1.11

Перенесем $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Этап 1.12

Перенесем $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Этап 1.13

Перенесем $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Этап 1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.15

Добавим $3$ и $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6 + 3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.17

Добавим $6$ и $3$ .

$\int x^{9} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{9 + 5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.19

Добавим $9$ и $5$ .

$\int x^{14} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.20

Умножим $3$ на $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{14} + 9 x^{3 + 3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.22

Добавим $3$ и $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{6} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{14} + 9 x^{6 + 5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.24

Добавим $6$ и $5$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.25

Умножим $3$ на $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 9 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.26

Умножим $9$ на $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.27

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{3 + 5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.28

Добавим $3$ и $5$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.29

Умножим $3$ на $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 9 \cdot 3 x^{5} d x$

Этап 1.30

Умножим $9$ на $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 27 x^{5} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{14} d x + \int 9 x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{14}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + \int 9 x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 \int x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{11}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Этап 6

Поскольку $27$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 \int x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int 27 x^{5} d x$

Этап 8

Поскольку $27$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $27$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 27 \int x^{5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 27 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + 27 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + 27 \frac{x^{6}}{6} + C$

Этап 10.2.2

Объединим $27$ и $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{27 x^{6}}{6} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $27$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27 x^{6}$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{6} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{3 (2)} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{9 x^{6}}{2} + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{15} x^{15} + \frac{3}{4} x^{12} + 3 x^{9} + \frac{9}{2} x^{6} + C$