Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 7

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$- \frac{- 1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{1}{x^{3}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

Этап 9.2.4

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 10 \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Этап 9.2.5

Объединим $10$ и $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{10 (3 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Этап 9.2.6

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{30 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

Этап 9.2.7

Вынесем множитель $5$ из $30 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

Этап 9.2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 (1)} + C$

Этап 9.2.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{5 (6 x^{\frac{5}{3}})}{5 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{1} + C$

Этап 9.2.8.4

Разделим $6 x^{\frac{5}{3}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + C$