Математический анализ Примеры

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 1.3.3.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Этап 2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Этап 3.2

Добавим $- 6 e^{- 2 x}$ и $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Этап 4

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = 3 e^{- 2 x}$ является решением уравнения $y' + 2 y = 0$