Математический анализ Примеры

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

Развернем $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.7

Изменим порядок $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $3 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 13.2.2

Объединим $2$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Этап 13.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$