Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ и $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 12 x^{2} + 4$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ и $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1.10715987$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(- 1.10715987)}^{2} + 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 1.10715987$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 1.22580298 + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $1.22580298$ .

$- 14.70963577 + 4$

Этап 9.2

Добавим $- 14.70963577$ и $4$ .

$- 10.70963577$

Этап 10

$x = - 1.10715987$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1.10715987$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1.10715987$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = - {(- 1.10715987)}^{4} + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 1.10715987$ в степень $4$ .

$f (- 1.10715987) = - 1 \cdot 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1.50259294$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Этап 11.2.1.3

Возведем $- 1.10715987$ в степень $2$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 \cdot 1.22580298 - (- 1.10715987) - 2$

Этап 11.2.1.4

Умножим $2$ на $1.22580298$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 - (- 1.10715987) - 2$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 + 1.10715987 - 2$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 1.50259294$ и $2.45160596$ .

$f (- 1.10715987) = 0.94901301 + 1.10715987 - 2$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0.94901301$ и $1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = 2.05617288 - 2$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $2$ из $2.05617288$ .

$f (- 1.10715987) = 0.05617288$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0.05617288$ .

$y = 0.05617288$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0.26959443$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(0.26959443)}^{2} + 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $0.26959443$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 0.07268115 + 4$

Этап 13.1.2

Умножим $- 12$ на $0.07268115$ .

$- 0.87217391 + 4$

Этап 13.2

Добавим $- 0.87217391$ и $4$ .

$3.12782608$

Этап 14

$x = 0.26959443$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.26959443$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 0.26959443$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.26959443$ .

$f (0.26959443) = - {(0.26959443)}^{4} + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $0.26959443$ в степень $4$ .

$f (0.26959443) = - 1 \cdot 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.00528255$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Этап 15.2.1.3

Возведем $0.26959443$ в степень $2$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 \cdot 0.07268115 - (0.26959443) - 2$

Этап 15.2.1.4

Умножим $2$ на $0.07268115$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - (0.26959443) - 2$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0.26959443$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - 0.26959443 - 2$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 0.00528255$ и $0.14536231$ .

$f (0.26959443) = 0.14007976 - 0.26959443 - 2$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $0.26959443$ из $0.14007976$ .

$f (0.26959443) = - 0.12951466 - 2$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $2$ из $- 0.12951466$ .

$f (0.26959443) = - 2.12951466$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 2.12951466$ .

$y = - 2.12951466$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0.83756543$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(0.83756543)}^{2} + 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $0.83756543$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 0.70151585 + 4$

Этап 17.1.2

Умножим $- 12$ на $0.70151585$ .

$- 8.4181903 + 4$

Этап 17.2

Добавим $- 8.4181903$ и $4$ .

$- 4.4181903$

Этап 18

$x = 0.83756543$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.83756543$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0.83756543$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.83756543$ .

$f (0.83756543) = - {(0.83756543)}^{4} + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $0.83756543$ в степень $4$ .

$f (0.83756543) = - 1 \cdot 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Этап 19.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.49212449$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Этап 19.2.1.3

Возведем $0.83756543$ в степень $2$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 \cdot 0.70151585 - (0.83756543) - 2$

Этап 19.2.1.4

Умножим $2$ на $0.70151585$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - (0.83756543) - 2$

Этап 19.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0.83756543$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - 0.83756543 - 2$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Добавим $- 0.49212449$ и $1.40303171$ .

$f (0.83756543) = 0.91090721 - 0.83756543 - 2$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $0.83756543$ из $0.91090721$ .

$f (0.83756543) = 0.07334178 - 2$

Этап 19.2.2.3

Вычтем $2$ из $0.07334178$ .

$f (0.83756543) = - 1.92665821$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 1.92665821$ .

$y = - 1.92665821$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ .

$(- 1.10715987, 0.05617288)$ — локальный максимум

$(0.26959443, - 2.12951466)$ — локальный минимум

$(0.83756543, - 1.92665821)$ — локальный максимум

Этап 21