Математический анализ Примеры

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x^{3} - 6$ . Тогда $d u = 6 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x^{3} - 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$6 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Этап 3

Объединим $\sec^{2} (u)$ и $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{6}$ и $5$ .

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$