Математический анализ Примеры

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Этап 3

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Этап 5

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 6.2

Объединим $\csc^{2} (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 8

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$