Математический анализ Примеры

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Тогда $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 1.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 1.1.4.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 1.1.4.3.3

Изменим порядок множителей в $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 2

Объединим ${u_{3}}^{4}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Этап 4

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{4}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$