Математический анализ Примеры

$- 2 x e^{1 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.8.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Этап 1.10

Умножим $e^{1 - x^{2}}$ на $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Этап 1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 1.11.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 1.11.3

Изменим порядок членов.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 1.11.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.4

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.10

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.2.12

Перенесем $- 2$ влево от $e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{1 - x^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} e^{1 - x^{2}}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Этап 2.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x))$

Этап 2.3.8

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$

Этап 2.3.9

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f'' (x) = - 8 (x^{3} (e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Этап 2.4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 8 (e^{1 - x^{2}} (x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Этап 2.4.2.3

Добавим $8 e^{1 - x^{2}} x$ и $4 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $- 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 x e^{1 - x^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Этап 4.1.2

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.2

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.8.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Этап 4.1.10

Умножим $e^{1 - x^{2}}$ на $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Этап 4.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 4.1.11.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 4.1.11.3

Изменим порядок членов.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 4.1.11.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 e^{1 - x^{2}}$ из $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 e^{1 - x^{2}}$ из $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 e^{1 - x^{2}}$ из $- 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 e^{1 - x^{2}}$ из $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{1 - x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{1 - x^{2}}$ к $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{1 - x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{1 - x^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $2 x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 1$ к $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 5.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 8 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 8 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- 8 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.2.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общий множитель.

$8 \cdot - 1 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (2 \sqrt{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.2.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.9

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.10.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.10.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 9.1.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.2.5

Найдем экспоненту.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 9.1.11.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Этап 9.1.11.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 9.1.11.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 9.1.11.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 9.1.11.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.12

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 9.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 9.1.14

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.2

Добавим $- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ и $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем $- 1 \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Этап 11.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 11.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 11.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 11.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 11.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 11.2.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 8 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 8 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.3.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.3.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ в числитель.

$- 8 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.5.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.5.3

Сократим общий множитель.

$8 \cdot - 1 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.5.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (- 2 \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.6

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.4.5

Найдем экспоненту.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.10

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.11.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.11.3

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.11.4

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 (- \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.12

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 13.1.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Этап 13.1.13.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 13.1.13.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.4.5

Найдем экспоненту.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 13.1.13.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Этап 13.1.13.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 13.1.13.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 13.1.13.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 13.1.13.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 13.1.14

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 13.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 13.1.16

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 13.2

Вычтем $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ из $2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 (- \sqrt{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Этап 15.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 15.2.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Этап 15.2.2.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 15.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 15.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 15.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 15.2.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $\sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 x e^{1 - x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ — локальный минимум

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ — локальный максимум

Этап 17