Математический анализ Примеры

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Этап 1

Запишем $- \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Этап 9

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 10

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 10.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{- 3} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 12.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$- 3 (- \frac{1}{x}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 12.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 12.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.5

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Этап 12.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Этап 12.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$