Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{5} - 1}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{5} - 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $5$ в выражении ${(x + 3)}^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{{(- 2 + 3)}^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 4}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 4}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{5} - 1}{x^{2} - 4} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная ${(x + 3)}^{5} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.5

Добавим $5 {(x + 3)}^{4}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{5}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5}{2} lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{4}}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 2.3

Вынесем степень $4$ в выражении ${(x + 3)}^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(- 2 + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(- 2 + 3)}^{4}}{- 2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{5 {(- 2 + 3)}^{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{5 \cdot 1^{4}}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{5 \cdot 1}{- 4}$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5}{- 4}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$- 1.25$