Математический анализ Примеры

$\frac{x}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{\cos^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x}{\cos^{2} (x) \cdot 1} d x$

Этап 4.2

Разделим дроби.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 4.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\int \frac{x}{1} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4.4

Разделим $x$ на $1$ .

$\int x \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x) - \int \tan (x) d x$

Этап 6

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x) - (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$x \tan (x) - \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $x \tan (x) - \ln (| \sec (x) |) + C$