Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Преобразуем числа с отрицательными показателями в дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Этап 1.1.2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Этап 1.1.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Этап 1.1.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы записать $3 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Этап 1.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}$

Этап 1.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

Этап 1.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Этап 1.2.2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Этап 1.2.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x^{1}) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Этап 1.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{1 + 1} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Этап 1.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Этап 1.2.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x + 4}$

Этап 1.2.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} + 4}$

Этап 1.2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} + 4}$

Этап 1.2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 1.2.2.9

Умножим $\frac{3 x^{2} + 2}{x}$ на $\frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + 4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Этап 9

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{0^{2} + 4}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0^{2} + 4}$

Этап 11.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 2}{0^{2} + 4}$

Этап 11.1.3

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{2}{0^{2} + 4}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{0 + 4}$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$