Математический анализ Примеры

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 1.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Этап 1.3.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 e^{2 x}$

Этап 2

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 2.8

Умножим $4$ на $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Этап 4

Добавим $2 e^{2 x}$ и $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Этап 5

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = e^{2 x}$ является решением уравнения $y' + y'' = 6 e^{2 x}$