Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 \sqrt{y + 1} \cos (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (2 \sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ на $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}) (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ на $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.2

Возведем $\sqrt{y + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.3

Возведем $\sqrt{y + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ в виде $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 1}$ в виде ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.3.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.4

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Этап 1.2.5

Умножим $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Объединим $\sqrt{y + 1}$ и $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y + 1} (2 \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

Этап 1.2.5.2

Возведем $\sqrt{y + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

Этап 1.2.5.3

Возведем $\sqrt{y + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1})}{y + 1} \cos (x)$

Этап 1.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}{y + 1} \cos (x)$

Этап 1.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1} \cos (x)$

Этап 1.2.5.6

Объединим $\frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ в виде $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 1}$ в виде ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{1} \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

Этап 1.2.7.2

Разделим $2 \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = 2 \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\sin (x) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ на $2$ .

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \sin (x) + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 1)}^{1} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y + 1 = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ .

$y + 1 = (\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = \sin (x) (\sin (x) + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + 1 = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{K}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Объединим $\frac{K}{2}$ и $\sin (x)$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $\frac{\sin (x) K}{2}$ и $\frac{K \sin (x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $K$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{K \sin (x)}{2}$ и $\frac{K \sin (x)}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + K$