Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\frac{4}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ и ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ из ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = \frac{7}{6}$

Этап 3

Проверим, является ли ряд сходящимся или расходящимся.

Так как $| r | \geq 1$ , ряд расходится.