Математический анализ Примеры

$\int x (2 x^{2} + 1) d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$4 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Объединим $u$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{8} {(2 x^{2} + 1)}^{2} + C$