Математический анализ Примеры

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x - 1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Этап 5

Умножим $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.2

Перепишем $- 1 x^{- 2}$ в виде $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Этап 8

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Этап 11.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$