Математический анализ Примеры

$7^{x} + 1102$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $7^{x} + 1102$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [1102]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $7$ .

$7^{x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [1102]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $1102$ является константой относительно $x$ , производная $1102$ относительно $x$ равна $0$ .

$7^{x} \ln (7) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $7^{x} \ln (7)$ и $0$ .

$f' (x) = 7^{x} \ln (7)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\ln (7)$ является константой относительно $x$ , производная $7^{x} \ln (7)$ по $x$ равна $\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Этап 2.2

$\ln (7) (7^{x} \ln (7))$

Этап 2.3

Возведем $\ln (7)$ в степень $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln (7))$

Этап 2.4

Возведем $\ln (7)$ в степень $1$ .

$7^{x} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7^{x} {\ln (7)}^{1 + 1}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 7^{x} \ln^{2} (7)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\ln^{2} (7)$ является константой относительно $x$ , производная $7^{x} \ln^{2} (7)$ по $x$ равна $\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$ .

$\ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [7^{x}]$

Этап 3.2

$\ln^{2} (7) (7^{x} \ln (7))$

Этап 3.3

Умножим $\ln^{2} (7)$ на $\ln (7)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $\ln (7)$ .

$\ln (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Этап 3.3.2

Умножим $\ln (7)$ на $\ln^{2} (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $\ln (7)$ в степень $1$ .

$\ln^{1} (7) \ln^{2} (7) \cdot 7^{x}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\ln (7)}^{1 + 2} \cdot 7^{x}$

Этап 3.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $\ln^{3} (7) \cdot 7^{x}$ .

$f''' (x) = 7^{x} \ln^{3} (7)$