Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}]$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}]$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}]$

Этап 3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}]$

Этап 3.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Этап 3.2.1.2

Разделим $4 (x + 2)$ на $1$ .

$\frac{d}{d y} [4 (x + 2)]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [4 x + 4 \cdot 2]$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + 8]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $4 x + 8$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 x' + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.6

Поскольку $8$ является константой относительно $y$ , производная $8$ относительно $y$ равна $0$ .

$4 x' + 0$

Этап 3.7

Добавим $4 x'$ и $0$ .

$4 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 4 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $4 x' = 1$ .

$4 x' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $4 x' = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $4 x' = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{4}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4}$