Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ is concave down at $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 1$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 1.2.4

Упростим ${(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - 6 {(1)}^{2} + 1$

Этап 1.2.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - 6 \cdot 1 + 1$

Этап 1.2.4.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$y = 1 - 6 + 1$

Этап 1.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $6$ из $1$ .

$y = - 5 + 1$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$y = - 4$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = - 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 6 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Этап 2.5.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 12 \cdot 1$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$3 - 12$

Этап 2.5.2

Вычтем $12$ из $3$ .

$- 9$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 9$ и координаты заданной точки $(1, - 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 9 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 9 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 4 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 4 = - 9 x - 9 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$y + 4 = - 9 x + 9$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 9 x + 9 - 4$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$y = - 9 x + 5$

Этап 4