Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{\cos (0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\cos (6 x) - \cos (7 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (7 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.5

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \cdot 7)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.6

Умножим $7$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- 7 \sin (7 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4.7

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 lim_{x \to 0} \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.5

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.9.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \cdot 0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.3

Умножим $- 6$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.4

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.1.6

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \sin (6 x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6

Перенесем $6$ влево от $\cos (6 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cdot 6 \cdot \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.7

Умножим $6$ на $- 6$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \sin (7 x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.6

Перенесем $7$ влево от $\cos (7 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cdot 7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.7

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{1}$

Этап 5.4

Разделим $- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 36 \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Этап 6.2

Вынесем член $36$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 lim_{x \to 0} \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Этап 6.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Этап 6.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

Этап 6.5

Вынесем член $49$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 lim_{x \to 0} \cos (7 x))$

Этап 6.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (lim_{x \to 0} 7 x))$

Этап 6.7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Этап 8.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 \cdot 1 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Этап 8.1.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

Этап 8.1.4

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (0))$

Этап 8.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cdot 1)$

Этап 8.1.6

Умножим $49$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 36 + 49)$

Этап 8.2

Добавим $- 36$ и $49$ .

$\frac{1}{2} \cdot 13$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $13$ .

$\frac{13}{2}$