Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[4]{8 x^{2}}$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{8 x^{2}}$ в виде ${(8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 (x^{2}))}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило умножения к $8 (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} {(x^{2})}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 (\frac{1}{4})}]$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 \frac{1}{2 (2)}}]$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 \frac{1}{2 \cdot 2}}]$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Поскольку $8^{\frac{1}{4}}$ является константой относительно $x$ , производная $8^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $8^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Объединим $8^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{4}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$