Математический анализ Примеры

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y - \frac{x}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Этап 2.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Этап 2.3.7

Умножим $\frac{x}{y}$ на $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Этап 2.3.8

Добавим $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ и $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы записать $x^{2} y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Этап 2.4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Этап 3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.1.2

Умножим $- (- x y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $2 x y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.4

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.4.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вычтем $2 x y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

Этап 5.3.1.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y' y^{2} + x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y' y^{2}$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x y'$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ на $x (x y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ на $x (x y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $x y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x y^{2} + 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Умножим $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x y^{2} + 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y^{3} x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.7

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.9.1

Перепишем $- (2 y^{2} x - 1)$ в виде $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$