Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + y^{2} - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.4.5

Умножим $y$ на $1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

Этап 3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

Этап 5.1.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' - x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ на $2 y - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ на $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

Этап 5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (4 x - y)$ в виде $- 1 (4 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$