Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.1.2

Когда $x$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Этап 1.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} 1$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$1$